Ejemplo
Función de ejemplo
Función en C:
double f(x){
return sqrt(x*x + 1) – tan(x);
}
Tarea
Haga funciones en C para encontrar la solución de las siguientes ecuaciones utilizando la función biseccion():
1. ex – x2 + 3x – 2 = 0 para 0 < = x < = 1
2.
Error en el método de bisección
Para el método de bisección se sabe que la raíz esta dentro del intervalo, la raíz debe situarse dentro de ?Dx / 2, donde Dx = xb – xa.
La solución en este caso es igual al punto medio del intervalo
xr = (xb + xa) / 2
Deberá expresarse por
xr = (xb + xa) / 2 ? Dx / 2
Error aproximado
sustituyedo
Número de iteraciones
El error absoluto en la primera iteración es:
El error absoluto en la iteración n-ésima es:
Si el error deseado es Ead,El número de iteraciones será:
Volumen del abrevadero
h
r
L
r
h
a
b
Tarea
17. Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se llena de agua hasta una distancia h de la parte superior, el volumen V de agua es
V = L [ 0.5 pr2 – r2 arcsen(h/r) – h(r2 – h2)1/2 ]
Escriba un programa en C amigable para el usuario que lea los datos de este problema y encuentre la profundidad h del abrevadero. Utilice el método de bisección para encontrar la solución.
h
r
L
Resumen
Requiere que se conozca el intervalo en donde está la raíz.
Los valores de la función en los extremos deben tener signos diferentes.
Converge lentamente, a cada paso el intervalo se divide en 2.
Método de falsa posición
xl
xu
f(xl)
f(xu)
xr
Este método considera cual límite del intervalo está más próximo a la raíz.
De la figura
Despejando
f(xr)
Ejemplo en Excel
Encontrar la raíz de:
Tarea
Encuentre la raíz real de f(x) = (0.8 – 0.3x)/x, por el método de falsa posición. Utilice valores iniciales de 1 y 3, calcule el error porcentual verdadero en cada iteración. Encuentre la raíz analiticamente.
Falsa posición en C
double falsaPosicion(double xl,
double xu, double ee, int imax){
double error,fl,fu,fr,xr,xrOld;
int iter=0,il=0,iu=0;
fl = f(xl);
fu = f(xu);
do{
xrOld = xr;
xr = xu – fu*(xl-xu)/(fl-fu);
fr = f(xr);
iter++;
if(xr!= 0)
error=fabs((xr-xrOld)/xr*100);
if(fl*fr< 0){
xu = xr;
fu = f(xu);
iu = 0;
il++;
if(il>=2)
fl/=2;
}
else{
xl = xr;
fl = f(xl);
il = 0;
iu++;
if(iu>=2)
fu/=2;
else;
error = 0;
}
}while(error>ee && iter< =imax);
return xr;
}
Iteración de punto fijo
Un punto fijo de una función g(x) es un número p tal que g(p) = p.
Dado un problema f(x) = 0, se puede definir una función g(x) con un punto fijo en p de diferentes maneras. Por ejemplo g(x) = x – f(x).
Teorema
Si g ? C [a, b] y g(x) ? C [a, b] para toda x ? C [a, b], entonces g tiene un punto fijo en [a, b].
Si además g'(x) existe en (a, b) y una constante positiva k< 1 existe con
|g'(x)| < = k, pata toda x ? (a, b),
Entonces el punto fijo en [a, b] es único.
y = g(x)
y
a
b
a
b
p
p=g(p)
x
y = x
y = g(x)
y
a
b
a
b
p
p=g(p)
x
y = x
|g'(x)>1
|g'(x)< =1
Algoritmo de punto fijo
Obtener una solución a p = g(p) dada un aproxiamción inicial p0.
ENTRADA aproximación inicial p0; tolerancia TOL; número máximo de iteraciones N0.
1. Tome i = 1.2. Mientras i < = N0 hacer 3. p = g(p0) 4. Si |p – p0| < TOL entonces5. Regresar p6. i = i +17. p0 = p8. Fin mientras9. Imprime 'El procedimiento fracasó después de N0 iteraciones'
Gráfica del algoritmo de punto fijo
y = g(x)
y
x
y = x
p0
p1= g(p0)
p3
p2
p1
p2= g(p1)
p3= g(p2)
y = g(x)
y
x
y = x
p0
p1= g(p0)
p2
p1
p2= g(p1)
p3= g(p2)
Casos de no convergencia
y = g(x)
y
x
y = x
y = g(x)
y
x
y = x
Ejemplo
Sea la función: x3 + 4×2 -10 = 0 tiene una raíz en [1, 2]
Puede despejarse en:
a. x = g1(x) = x – x3 – 4×2 +10
b. x = g2(x) = ½(10 – x3)½
c. x = g3(x) = (10/(4 + x))½
d. x = g4(x) = x – (x3 + 4×2 – 10)/(3×2 + 8x)
Iteraciones de punto fijo
(b)
1.51.2869537671.4025408031.3454583741.3751702521.3600941921.3678469671.3638870031.3659167331.3648782171.3654100611.3651378201.3652772081.3652058501.3652423831.3652295781.3652300281.365230012
(c)
1.51.3483997241.3673763711.3649570151.3652647481.3652255941.3652305751.3652299411.3652300221.3652300121.3652300131.365230013
(a)
1 1.52 -0.8753 6.7324218754 -469.720012005 1.02754555E86 -1.084933870E247 1.277055591E728 -2.082712908E2169 NaN101112131415202530
(d)
1.51.3733333331.365262014 1.3652300131.365230013
Funciones graficadas en MathLab
a)
b)
c)
d)
Teorema de punto fijo
Si g ? C [a, b] y g(x) ? C [a, b] para toda x ? C [a, b], además supongamos que existe g'(x) en (a, b) y una constante positiva k< 1 cuando
|g'(x)| < = k, pata toda x ? (a, b),
Entonces, para cualquier punto p0 en [a, b] la sucesión definida por
pn = g(pn-1), n >=1
Converge en el único punto fijo p en [a, b].
Corolario
Si g satisface las hipótesis de teorema del punto fijo, las cotas de error que supone utilizar pn para aproximar a p están dadas por
| pn – p| < = kn max(p0 – a, b – p0)
Y por
| pn – p| < = kn | p1 – p0|/ (1 – k), para toda n>=1
Análisis del ejemplo
Caso (a)
g1(x) = x – x3 – 4×2 +10
g1'(x) = 1 – 3×2 – 8x
g1'(1) = – 11, g1'(2) = – 28
No se cumple |g1'(x)| < 1
Caso (b)
g2(x) = ½(10 – x3)½
g2'(x) = – 3/4×2(10 – x3)-½
g2'(1) = – 0.25, g1'(2) = – 2.1213
No se cumple |g1'(x)| < 1
Caso (c)
g3(x) = (10/(4 + x))½
g3'(x) = (- 5/3.16)(4 + x)-1.5
< = (- 5/3.16)(5)-1.5 < = 0.15
Para toda x en [1, 2]
Caso (d)
g4(x) = x – (x3 + 4×2 – 10)/(3×2 + 8x)
Se cumple |g4'(x)| es aún menor que en el caso (c) para toda x en [1, 2]
Programa en Matlab
function y = PuntoFijo(f_name, p0, tol, ni)
%f_name – nombre de la funcion
%p0 – valor inicial de la raiz
%tol – tolerancia
%ni – número de iteraciones
i = 1;
while i< =ni
p = feval(f_name,p0);
if(abs(p0-p)< tol)
y = p;
break;
end
i = i + 1;
p0 = p;
end
fprintf('No se encontro solucion.');
Función en C
double PuntoFijo(double p0, double tol, int ni){
int i = 1;
double p;
while(i< =ni){
p = f(p0);
if(fabs((p0-p)/p)< tol)
return p;
i++;
p0 = p;
}
std::cout < < "NO solucion en :" < < ni < < " iteraciones.n";
return p;
}
Tarea
Encontrar la raíz más grande de
f(x) = 2×3 – 11.7×2 + 17.7x – 5
Resolver por el método del punto fijo partiendo de x = 3.
Método de Newton-Raphson
f (xn)
Pendiente = f ' (xn)
xn
xn+1
La ecuación de la recta tangente es:
y – f(xn) = f ' (xn)(x – xn)
Cuando y = 0, x = xn+1 o sea
0 – f(xn) = f ' (xn)(xn+1- xn)
o
f(x)
Algoritmo Newton
Para obtener una solución a f(x) = 0 dada una aproximación p0.
ENTRADA aproximación inicial p0; tolerancia tol; número máximo de iteraciones N0.
1. i = 1
2. Mientras i< =N0 hacer
2.1. p = p0 – f(p0)/f'(p0)
2.2. Si |p – p0|< tol entonces regrese p
2.3. i = i + 1
2.4. p0 = p
3. fracaso en encontrar la raíz en N0 iteraciones
Ejemplo
f(x) = x – cos(x) f'(x) = 1 + sen(x)
Tomando p0 = 0, se obtiene
pn f(pn) f'(pn) pn+10 -1 1 11 0.459698 1.8414 0.75036390.7503639 0.0189 1.6819 0.73911280.7391128 0.00005 1.6736 0.7390851 0.7390851 3E-10 1.6736 0.7390851
pn+1 = pn – (pn – cos(pn))/(1 + sen(pn))
Ejercicio
Encontrar la solución de
x3 + 4×2 – 10 = 0
En el intervalo [1, 2] con el método de Newton
Código en C
double Newton(double x0, double ee, int ni){
int i = 0;
double x,fx,dfx;
while(i< ni){
fx = f(x0);
dfx = df(x0);
x = x0-fx/dfx;
if(fabs((x-x0)/x)< ee)
return x;
i++;
x0 = x;
}
std::cout < < "No solución en "< < i < < " pasosn";
return x;
}
Ejemplo: cuenta de ahorros
El valor acumulado de una cuenta de ahorros puede calcularse con la ecuación de anualidad vencida
A = P[(1 + i )n – 1 ] / i
En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidad que se deposita periódicamente e i es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito. A un ingeniero le gustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de $ 750,000 dólares al momento de retirarse dentro de 20 años, y puede depositar $ 1,500 dólares mensuales para lograr dicho objetivo. ¿Cuál es la mínima tasa de interés a que puede invertirse ese dinero, suponiendo que es un interés compuesto mensual?
Escriba un programa en C para este problema, el programa deberá pedir todos los datos necesarios y utilizar el método de Newton para calcular el interés a que debe invertirse el dinero.
Solución
Para estimar el valor inicial de i podemos desarrollar el binomio (1 + i)n para aproximarlo a la segunda potencia. El resultado es
Se sugiere validar los datos de entrada. El capital a obtener debe ser mayor que el depósito por el número de abonos, es decir
A > nP
Ejemplos resuelto en Excel
Método alternativo para evaluar la derivada (método de la secante)
Es posible calcular la derivada en xn usando:
O utilizando
Algoritmo Newton2
Para obtener una solución a f(x) = 0 dada una aproximación p0.
ENTRADA aproximación inicial p0; tolerancia tol; número máximo de iteraciones N0.
1. i = 12. h = 0.0013. Mientras i< =N0 hacer 2.1. y = f(p0) 2.2. y_deriv =(f(p0+h)-y)/h 2.3. p = p0 – y/y_deriv 2.4. Si |p – p0|< tol entonces regrese p 2.5. i = i + 1 2.6. p0 = p3. fracaso en encontrar la raíz en N0 iteraciones
Código en C
double Newton(double x0, double ee, int ni){
int i = 0;
double x,fx,dfx,h;
h = 0.0001;
while(i< ni){
fx = f(x0);
dfx = (f(x0+h)-fx)/h;
x = x0-fx/dfx;
if(fabs((x-x0)/x)< ee)
return x;
i++;
x0 = x;
}
std::cout < < "No solución en "< < i < < " pasosn";
return x;
}
Programa en Matlab
function x = Newt_n(f_name, xO)
% Iteración de Newton sin gráficos
x = xO; xb = x-999;
n=0; del_x = 0.01;
while abs(x-xb)>0.000001
n=n+1; xb=x ;
if n>300 break; end
y=feval(f_name, x) ;
y_driv=(feval(f_name, x+del_x) – y)/del_x;
x = xb – y/y_driv ;
fprintf(' n=%3.0f, x=%12.5e, y=%12.5e, ', n,x,y)
fprintf(' yd = %12.5e n', y_driv)
end
fprintf('n Respuesta final = %12.6en', x) ;
Calcula derivada con incrementos
Raíz cuadrada con Newton
Para extraer la raíz cuadrada de un número se puede resolver la ecuación
f(x) = x2 – c = 0
La derivada es
f'(x) = 2x
La fórmula de recurrencia de Newton es
xn+1 = xn – (xn2 – c)/(2xn)
= xn/2 + c/(2xn)
= (xn + c/xn)/2
Ejemplo: raíz cuadrada de 5 con x0 = 1.
Desventajas
En algunos casos la convergencia es muy lenta, considere
f(x) = xn – 1
Se obtiene la siguiente secuencia empezando en x = 0.5
iteración x0 0.51 51.652 46.4853 41.83654 37,65285
..
— 1.000000
Desventajas (cont.)
x0
x1
x2
x
f(x)
x0
x1
x2
x
f(x)
x0
x1
x
f(x)
raíz cerca de punto de inflexión
mínimo local
varias raíces
x
f(x)
la iteración en un mínimo
x0
x1
Ejemplo
Resolver utilizando Excel
sen x – e-x = 0 para 0< = x < = 1 y 3< = x < = 4 y 6< = x < = 7
Resultados
Tarea #14
La carga en un circuito RLC serie esta dada por
suponga q/q0 = 0.01, t = 0.05 s, L = 5H y C = 10-6 F.
Encuentre el valor de la Resistencia R usando el método de Newton. Haga un programa en C para este problema.
Ejemplo
La carga en un circuito RLC paralelo la impedancia esta dada por
suponga R = 225, L = 0.5H y C = 0.610-6 F y Z = 75 Ohms.
Encuentre el valor de la frecuencia w usando el método de Newton.
Convergencia en el punto fijo
El algoritmo de punto fijo es de tipo lineal. Se puede demostrar que el error verdadero en la iteración i+1 es:
Et,i+1= g'(x)Et,i
donde
Et,i = xr – xi
Convergencia en Newton Raphson
El algoritmo de Newton es de tipo cuadrático. Se puede demostrar que el error verdadero en la iteración i+1 es:
Et,i+1= (- f ''(xr)/2f '(xr))E2t,i
Esto significa que el número de decimales exactos se duplica con cada iteración.
Raíces múltiples
En el caso de que un polinomio tenga raíces múltiples, la función tendrá pendiente igual a cero cuando cruce el eje x.
Tales casos no pueden detectarse en el método de bisección si la multiplicidad es par.
En el método de Newton la derivada en la raíz es cero.
Generalmente el valor de la función tiende a cero más rápido que la derivada y puede utilizarse el método de Newton
Ejemplo
Polinomio: f(x) = (x – 3) (x – 1) (x – 1)
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